В линейном пространстве любой набор векторов образует линейно-независимую систему:
В случае одношаговых методов главный член погрешности довольно часто реально преобладает над членами высшего порядка:
Задачи с оттоком энергии составляют существенную долю задач, встречающихся в приложениях:
Малое возмущение начального условия для всех дифференциальных уравнений приводит к малому расхождению решений:
Оценки погрешности для всех конечно-разностных схем, удовлетворяющих условию альфа, являются завышенными:
Погрешность начальных условий имеет менее высокий порядок малости, чем погрешность аппроксимации:
При использовании обоих типов расчетных формул на каждом шаге требуется производить обращение матрицы, размерность которой равна размерности системы:
Проще всего применить для нахождения значений y какой-либо из многошаговых методов типа Рунге-Кутта:
Сеточная функция точно удовлетворяет конечно-разностному уравнению, соответствующему линейному дифференциальному уравнению:
Собственные значения матрицы могут лежать в круге или на его границе:
Сравнение результатов расчетов с различными шагами является основным способом для получения суждения о величине реальной погрешности и используется относительно часто:
Среди конечно-разностных методов следует выделить методы, у которых один из корней характеристического уравнения равен 1, а остальные лежат строго внутри единичного круга - сюда относятся методы Адамса:
Теорема о главном члене погрешности использует интегралы для ее оценки:
У разностного и дифференциального уравнений отсутствует близость решений во всех ситуациях:
Формулы Рунге-Кутта и конечно-разностные схемы, формально переписанные для случая систем уравнений, имеют тот же порядок погрешности, что и в случае одного уравнения: