В настоящее время отпала необходимость в изучении большого числа частных способов интегрирования уравнений в явном виде:
В рассуждениях об интегрируемости в явном виде обычно имеется в виду, что решение может быть вычислено при помощи конечного числа "элементарных" операций:
В ряде случаев решение дифференциального уравнения отыскивается на большом промежутке:
Все методы численного интегрирования являются одношаговыми:
Всякая схема m-го порядка аппроксимации является схемой q-го порядка аппроксимации, если q меньше m:
Для более гибкого управления выбором шага интегрирования иногда желательно иметь возможность совершать шаг интегрирования и оценивать погрешность при меньшем количестве вычисляемых значений правых частей:
Малые возмущения коэффициентов всегда приводят к малым возмущениям решения:
Метод Эйлера служит для построения всех формул приближенного интегрирования дифференциальных уравнений:
Можно получать различные методы Рунге-Кутта с погрешностью любого порядка:
На практике применяются только интерполяционные формулы:
При измельчении шага приближенное решение всегда сходится к точному:
При одинаковом порядке погрешности квадратурных формул всегда оказывается, что главные члены погрешности этих формул пропорциональны:
Строгое доказательство четко сформулированных утверждений всегда вносит определенную ясность, но вследствие своей законченности оно воспитывает также некоторый консерватизм в подходе к рассматриваемому явлению:
У формул одинакового порядка точности по h главные члены погрешности на шаге часто оказываются пропорциональными:
Число различных классов реально встречающихся дифференциальных уравнений меньше числа задач, где производится сравнение методов численного интегрирования: