Верно ли высказывание?
А) В матрице игры с седловой точкой существует элемент, являющийся одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце; такой элемент называется «седловой точкой».
В) если в матрице игры несколько седловых точек, то все они дают одно и то же значение выигрыша.
Верно ли высказывание?
А) Если игра содержит кроме личных случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий , есть величина случайная, зависящая от исходов всех случайных ходов.
В) Естественной оценкой ожидаемого выигрыша является математическое ожидание случайного выигрыша.
Верно ли высказывание?
А) Любая ситуация, складывающаяся в ходе военных действий, принадлежит к конфликтным: каждое решение в этой области должно приниматься с учетом сознательного противодействия разумного противника.
В) Ситуации, возникающие при выборе количества вооружения принадлежит к конфликтным.
Верно ли высказывание?
А) Однако в принципе любая конечная игра может быть приведена к матричной форме.
В) Игра в которой у каждого игрока по три стратегии - конечная игра.
Верно ли высказывание?
А) При выборе оптимальной стратегии основой рассуждений является предположение, что противник по меньшей мере так же разумен, как и мы сами, и делает все для того, чтобы помешать нам добиться своей цели.
В) В теории игр при выработке рекомендации не учитываются просчеты и ошибки игроков, неизбежные в каждой конфликтной ситуации, а также элементы азарта и риска.
Верно ли высказывание?
А) Ряд ситуаций в области экономики (особенно при наличии капиталистической конкуренции) также принадлежит к конфликтным; в роли борющихся сторон выступают торговые фирмы, промышленные предприятия, тресты, монополии и т. д.
В) Встречаются конфликтные ситуации также в судопроизводстве, спорте и в других областях человеческой деятельности.
Верно ли высказывание?
А) Чтобы найти оптимальные стратегии сторон, нужно научиться решать игры.
В) Не любая конечная игра может быть приведена к матричной форме.
Верно ли утверждение?
А) Развитие игры во времени может быть представлено состоящим из ряда последовательных этапов или ходов.
В) Ходы в теории игр бывают личные и случайные.
Верны ли утверждения?
А) Во многих задачах исследования операций нам приходится сталкиваться с проблемой принятия решения в условиях неопределенности.
В) В задаче неопределенность в той или другой степени может относиться также и к целям (задачам) операции, успех которой далеко не всегда может быть исчерпывающим образом охарактеризован одним-единственным числом – показателем эффективности.
Верны ли утверждения?
А) Во многих задачах исследования операций нам приходится сталкиваться с проблемой принятия решения в условиях неопределенности.
В) Неопределенными в задачах могут быть как условия выполнения операции, так и сознательные действия противников или других лиц, от которых зависит успех операции.
Верны ли утверждения?
А) Каждый раз, когда в ход моделируемого процесса вмешивается случайность, ее влияние учитывается не расчетом, а бросанием жребия.
В) Основным элементом, из совокупности которых складывается монте-карловская модель, является одна случайная реализация моделируемого явления
Верны ли утверждения?
А) Необходимо учитывать, что при выборе решения в условиях неопределенности всегда неизбежен элемент произвола и, значит, риска.
В) Недостаточность информации всегда опасна, и за нее приходится платить.
Верны ли утверждения?
А) Большое число реализаций, требующееся при применении метода Монте-Карло, делает его вообще громоздким и трудоемким.
В) Прежде чем пускать в ход метод Монте-Карло, нет смысла попытаться решить задачу аналитически.
Верны ли утверждения?
А) В результате «розыгрыша» получается один экземпляр – одна «реализация» случайного явления.
В) Статистический материал – множество реализаций случайного явления получается большого числа «розыгрыша»
Верны ли утверждения?
А) В сущности, методом «розыгрыша» может быть решена любая вероятностная задача; однако оправданным он становится только в случае, когда процедура «розыгрыша» проще, а не сложнее применения аналитических, вычислительных методов.
В) Методом статистических испытаний (Монте-Карло) можно находить средние значения (математические ожидания) случайных величин.
Верны ли утверждения?
А) Если все решения приняты игроком заранее, то это будет означать, что игрок выбрал определенную стратегию. Теперь он может и не участвовать в игре лично, а заменить свое участие списком правил, которые за него будет применять незаинтересованное лицо (судья).
В) Стратегия может быть задана машине-автомату в виде программы (именно так играют в шахматы электронные вычислительные машины).
Верны ли утверждения?
А) Если мы будем придерживаться максиминной стратегии, то нам при любом поведении противника гарантирован выигрыш, во всяком случае, не меньший .
В) Нижняя цена игры - это тот гарантированный минимум, который мы можем себе обеспечить, придерживаясь своей наиболее осторожной {«перестраховочной») стратегии.
Верны ли утверждения?
А) Если система имеет бесконечное множество возможных состояний, то, мы знаем, даже при стационарности всех потоков событий, предельного режима при может не существовать.
В) Если предельный режим существует, то при моделировании процесса методом Монте-Карло можно ограничиться одной реализацией.
Верны ли утверждения?
А) Метод Монте-Карло в исследовании операций есть метод математического моделирования случайных явлений, в котором сама случайность непосредственно включается в процесс моделирования и представляет собой его существенный элемент.
В) Каждый раз, когда в ход операции вмешивается тот или другой случайный фактор, его влияние имитируется с помощью специально организованного «розыгрыша» или «жребия».
Верны ли утверждения?
А) Методом статистических испытаний (Монте-Карло) можно находить не только вероятности событий, но и средние значения (математические ожидания) случайных величин.
В) При использовании метода Монте-Карло пользуются теоремой Бернулли, а не законом больших чисел (теоремой Чебышева).
Верны ли утверждения?
А) Не каждая конечная игра имеет цену.
В) Цена игры всегда лежит между нижней ценой игры и верхней ценой игры.
Верны ли утверждения?
А) Недостаточность информации всегда опасна, и за нее приходится платить.
В) Однако в условиях сложной ситуации всегда полезно представить варианты решения и их возможные последствия в такой форме, чтобы сделать произвол выбора менее грубым, а риск – минимальным.
Верны ли утверждения?
А) Опыт показывает, что для получения практически нормального распределения достаточно сравнительно небольшого числа слагаемых.
В) Например, при сложении всего шести случайных чисел от 0 до 1 получается случайная величина, которая считается недостаточной.
Верны ли утверждения?
А) При «розыгрыше» строится одна реализация случайного явления, представляющая собой как бы результат одного «опыта».
В) При большом числе реализаций интересующие нас характеристики случайного явления (вероятности, математические ожидания) находятся так же, как они находятся из опыта.
Верны ли утверждения?
А) Применять метод Монте-Карло надо в том случае, если решить задачу аналитически не удается.
В) Аналитическое решение задачи помогает выявить основные факторы, от которых зависит результат, и наметить план дальнейшей работы.
Верны ли утверждения?
А) Противник заинтересован в том, чтобы обратить наш выигрыш в минимум; поэтому он должен просмотреть все свои стратегии, выделяя для каждой из них максимальное значение выигрыша.
В) Противник заинтересован в том, чтобы обратить наш выигрыш в минимум; поэтому он должен просмотреть все свои стратегии, выделяя для каждой из них минимальное значение выигрыша.
Верны ли утверждения?
А) Реализация представляет собой как бы один случай осуществления моделируемого случайного явления, (процесса) со всеми присущими ему случайностями.
В) Реализация разыгрывается с помощью специально разработанной процедуры или алгоритма, в котором важную роль играет собственно «розыгрыш» или «бросание жребия».
Верны ли утверждения?
А) Статистический материал мы можем получить произведя «розыгрыш» очень большое число раз.
В) Статистический материал – множество реализаций случайного явления, который можно обработать обычными методами математической статистики.
Верны ли утверждения?
А) Так же как в жизни конкретное осуществление процесса складывается каждый раз по-иному, так же и в результате «розыгрыша» мы получаем один экземпляр – одну «реализацию» случайного явления.
В) Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (машин, систем, людей, коллективов) и в. которых случайные факторы сложным образом взаимодействуют между собой, метод статистических испытаний, как правило, оказывается проще аналитического.
Верны ли утверждения?
А) Чтобы найти оптимальные стратегии сторон, нужно научиться решать игры.
В) Только оптимальные стратегии сторон и образуют так называемое решение игры.
Верны ли утверждения?
При вычислении псевдослучайных чисел по любому алгоритму через какое-то большое число Ц выработанных таким способом чисел они неизбежно начнут повторяться.
А) Однако, если при моделировании операции нам придется воспользоваться количеством розыгрышей, меньшим, чем Ц, такая цикличность никакого значения не имеет.
В) Однако, если при моделировании операции нам придется воспользоваться количеством розыгрышей, меньшим, чем Ц, такая цикличность имеет большое значения.
Азартные игры
В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на
В игре могут сталкиваться интересы
В игре с нулевой суммой интересы противников
В ряде случаев задача о принятии решения в условиях неопределенности ставится в таком виде:
В ситуациях неопределенными могут быть
В случае, когда розыгрыш нормальной случайной величины осуществляется не вручную, а на машине, обычно применяется другой способ, основанный на
Верхней ценой игры, иначе минимаксным выигрышем или минимаксом называется величина
Выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, выбор карты из перетасованной колоды и т. п.) называется
Выбор одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление в теории игр называется
Гораздо чаще при моделировании методом Монте-Карло пользуются так называемыми
Единственным практически пригодным методом исследования подобных не-марковских систем является моделирование процесса методом
Если один игрок выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой, т. е. сумма выигрышей сторон равна нулю, то это игра называется игрой
Если перемножить два произвольных п - значных двоичных числа а1 и а2 и из произведения взять п средних знаков – это будет число а3; затем перемножить а2 и а3 и повторить процедуру и т. д. С помощью такой процедуры псевдослучайные числа
Если производится большое число N независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то дисперсия события А определяется по формуле
Если производится большое число N независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то математическое ожидание события А определяется по формуле
Если производится большое число N независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то среднее квадратическое отклонение события А определяется по формуле
Если производится большое число N независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то частота события А определяется по формуле
Если производится большое число N независимых опытов, в которых случайная величина X принимает значения: , то среднее арифметическое этих значений определяется по формуле:
Если производится большое число N независимых опытов, в которых случайная величина X принимает значения: , то среднее квадратическое отклонение определяется по формуле
Если процесс обладает эргодическим свойством, то это значит, что
Если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, то игра называется
Задача теории игр - дать указания игрокам при
Закон больших чисел (теорема Чебышева) гласит:
Игра называется бесконечной, если
Игра, в которой игрок А («мы») имеет стратегий, а игрок В («противник») – стратегий называется игрой
Идея метода Монте-Карло чрезвычайно проста и состоит она в следующем:
К механизму случайного выбора можно отнести:
Когда построение аналитической модели явления по той или другой причине трудно осуществимо, применяется другой метод моделирования, известный под названием метода
Любой механизм случайного выбора может быть заменен стандартным механизмом, позволяющим решить одну-единственную задачу:
Математическая теория конфликтных ситуаций - это теория
Метод Монте-Карло основан на предельных теоремах теории вероятностей, утверждающих, что
Моделирование случайных явлений методом Монте-Карло часто производится с целью
Необходимо учитывать, что при выборе решения в условиях неопределенности всегда неизбежен элемент …
Нижней ценой игры, иначе - максиминным выигрышем или максимином называется величина
Основным элементом, из совокупности которых складывается монте-карловская модель, является одна случайная реализация моделируемого явления – это
Отсюда возникает такой способ розыгрыша нормально распределенной случайной величины X:
Пользуясь методом Монте-Карло, мы, произведя большое число опытов (реализаций), приближенно заменяем вероятность события
При большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины почти наверняка мало отличается от ее математического ожидания - это
При применении метода статистических испытаний (Монте-Карло) для нахождения средних значений (математические ожидания) случайных величин используется
При производстве единичного жребия решается один из вопросов:
При сложении всего шести случайных чисел от 0 до 1 получается случайная величина, которая с точностью, достаточной для большинства прикладных задач, считается
При сложении достаточно большого числа независимых случайных величин, сравнимых по своим дисперсиям, получается случайная величина, распределенная приближенно по нормальному закону, причем этот закон тем ближе к нормальному, чем больше случайных величин складывается – это
Примерами единичного жребия являются
Произведено N независимых опытов (реализаций), в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. В результате этих опытов получена частота Р* события А. Вероятность того, что частота Р* отличается от вероятности р не больше чем на заданную величину определяется по формуле
Производится N независимых опытов, в каждом из которых наблюдается значение случайной величины X, имеющей математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение . Вычисляется среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины X: . Вероятность того, что среднее арифметическое отклонится от математического ожидания меньше чем на заданную величину определяется по формуле:
Производится ряд независимых опытов над случайной величиной X. Сколько надо сделать опытов, чтобы с заданной вероятностью (уровнем доверия) Q ожидать, что среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины отклонится от ее математического ожидания не больше, чем на ? Количество опытов можно определить по формуле
Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Число опытов (реализаций) необходимое для того, чтобы с заданной, достаточно высокой вероятностью Q можно было ожидать, что частота Р* события А отклонится от его вероятности р меньше, чем на определяется по формуле
Прямоугольная таблица (матрица), строки которой соответствуют нашим стратегиям (), а столбцы – стратегиям противника () называется
Псевдослучайными называются числа, вырабатываемые (вычисляемые) самой машиной по некоторому правилу (алгоритму), построенному так, чтобы
Развитие игры во времени представляет собой ряд последовательных
Разработаны специальные математические методы, предназначенные для обоснования решений в условиях неопределенности. Эти методы …
Разумеется, когда речь идет о неопределенной в каком-то смысле ситуации, рекомендации, вытекающие из научного исследования, не могут быть
Результат (выигрыш или проигрыш) игры вообще не всегда имеет количественное выражение, но обычно можно, хотя бы условно, выразить его …
Свойство процесса, состоящее в том, что предельный режим, устанавливающийся в системе через некоторое время ее работы, не зависит от того, каковы были начальные условия и первоначальный период работы системы – каждая отдельная реализация является как бы «полномочным представителем» всего класса реализаций, называется
Совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе этого игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры называется
Сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление (пример – любой ход в шахматной игре) называется.
Соответствующая выигрышу стратегия противника называется его
Стратегия игрока , которая соответствует максимину, называется
Стратегия, в которой отдельные «чистые» стратегии чередуются случайным образом с какими-то вероятностями называется
Стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то же, минимально возможный средний проигрыш) называется
Таким образом, чтобы разыграть значение нормальной случайной величины X с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением нужно: взять шесть случайных чисел от 0 до 1
Теория игр, как и всякая математическая модель сложного явления, имеет свои ограничения:
Целью теории игр является выработка рекомендаций для разумного поведения игроков в конфликтной ситуации, т. е.
Человечество издавна пользуется формализованными моделями конфликтов – «играми» в буквальном смысле слова (шашки, шахматы, карточные игры и т. д.). Все эти игры носят
Чтобы игра могла быть подвергнута математическому анализу, должны быть четко сформулированы правила игры, т. е. система условий, регламентирующая: