В схеме расщепления исходное дифференциальное уравнение разбивается на два:
Для дифференциального уравнения, допускающего расщепление, схема расщепления единственна:
Если разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную задачу и устойчива, то при измельчении сетки решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной:
Задача построения разностной схемы разбивается на две: построение схемы, аппроксимирующей задачу, и проверка устойчивости разностной схемы:
Исследование устойчивости разностных схем для уравнений в частных производных проще, чем для обыкновенных дифференциальных уравнений:
Негибкие разностные схемы могут аппроксимировать разные дифференциальные уравнения при различных соотношениях пространственного и временного шага:
Неявные разностные схемы менее устойчивы, чем явные:
Объем вычислительной работы при решении разностной задачи всегда пропорционален числу точек сетки:
Разностная схема аппроксимирует исходную задачу, если невязка стремится к нулю при измельчении шага сетки:
Разностные схемы для обыкновенных дифференциальных уравнений отличаются большим разнообразием, чем разностные схемы для уравнений в частных производных:
Свойство устойчивости - равномерная относительно h чувствительность решения разностной краевой задачи к возмущениям правой части:
Свойство устойчивости разностной схемы зависит от ее аппроксимации и сходимости:
Сеточная функция - это функция, заданная в узлах сетки:
Сеточный шаблон служит для схематического изображения разностной схемы:
Скорость сходимости разностной схемы относительно шага сетки совпадает с порядком аппроксимации:
Схему расщепления для уравнения теплопроводности можно трактовать как процесс последовательного распространения тепла в разных направлениях:
Схемы расщепления используются для решения обыкновенных дифференциальных уравнений: