Вид квадратичной формы зависит от базиса, в котором она записывается:
Во многих случаях тип квадратичной формы можно определить, не вычисляя собственных значений ее матрицы:
Для вырожденной квадратичной формы некоторые из коэффициентов в каноническом виде равны нулю:
Для того чтобы квадратичная форма от n-переменных была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры были положительны:
Знание собственных векторов матрицы квадратичной формы позволяет записать матрицу перехода, преобразующую форму к каноническому виду:
Квадратичная форма неотрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные числа ее матрицы отрицательны:
Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные числа ее матрицы отрицательны:
Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные числа ее матрицы положительны:
Квадратичные формы можно разделить на различные типы в зависимости от множества их значений:
Квадратичные формы называются знакопеременными, если они могут принимать только отрицательные значения:
Любой квадратичной форме можно поставить в соответствие симметричную матрицу, порядок которой равен двум:
Ортогональной матрицей называется такая матрица G порядка n, для которой столбцы матрицы образуют ортонормированный базис в пространстве R:
Ранг квадратичной формы - число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы:
Ранг равен числу нулевых собственных значений матрицы квадратичной формы:
Симметричной матрице можно поставить в соответствие квадратичную форму, количество переменных в которой равно порядку матрицы: