Двойной и тройной интегралы являются инвариантными объектами:
Для осуществления замены переменных в двойном интеграле нужно подставить в подынтегральную функцию f (x, y) вместо x и y их выражения x (u, v), y (u, v):
Если функция z = f (x, y) непрерывна в области D, то она интегрируема в этой области:
Любой двойной интеграл можно свести к повторному:
Многоугольная фигура на плоскости - объединение конечного числа многоугольников, не имеющих общих внутренних точек:
Наиболее часто из криволинейных координат употребляются кубические и пирамидальные:
Переход в двойном интеграле к полярным координатам становится особенно эффективным, если частью границы области интегрирования являются дуги окружностей:
Переход к новым координатам усложняет запись двойного интеграла и его вычисление:
Повторный интеграл - двумерный аналог теоремы Ньютона - Лейбница:
Пределы интегрирования в двойном интеграле определяются единственным образом:
При вычислении двойного интеграла используются декартовы, цилиндрические и сферические координаты:
При вычислении повторного интеграла сначала находят внешний интеграл:
Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла от функции одного переменного:
Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного и однократного интегралов:
Тройной интеграл - инвариантный объект: