Вариационное исчисление является естественным развитием той части математического анализа, которая посвящена задаче суммирования бесконечных рядов:
Вариационные методы сводят решение оптимальной задачи к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера:
Вариация функции y(x) зависит от х:
Две кривые близки в смысле близости первого порядка, если модуль их разности мал:
Длина дуги плоской или пространственной кривой, соединяющей две заданные точки А и В, - пример функционала:
Если на кривой достигается сильный максимум, то тем более достигается и слабый:
Если подынтегральная функция зависит только от производной, то решением уравнения Эйлера являются уравнения прямых:
Если подынтегральная функция не зависит от производной, то уравнение Эйлера является дифференциальным уравнением 1-го порядка в частных производных:
Задача Дидоны сводится к задаче отыскания кривой заданной длины и ограничивающей максимальную площадь:
Необходимым условием экстремума функции в точке является обращение в ноль ее производной в этой точке:
Только на экстремалях может достигать экстремум функционала:
Уравнение Эйлера в каноническом виде - система двух уравнений первого порядка:
Уравнения связи - дополнительные соотношения, связывающие аргументы искомой функции:
Функционал называется непрерывным, если малому изменению x соответствует малое изменение функционала:
Функционалами называются функции, которые определяются выбором одной или нескольких других функций: