_________произведением упорядоченной пары неколлинеарных векторов , называется такой вектор , который определяется следующими тремя условиями: 1) | | = ||×||×sinj, где j=Ð; 2) вектор перпендикулярен векторам и ;
3) тройка векторов , , правая
Верны ли утверждения?
А) × = - × для любых векторов ,
В) (+) × = × + × для любых векторов , ,
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) ´=
В) ´=
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) ´= -
В) ´=
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) В косоугольной системе координат для любой точки ее координаты соответственно равны координатам радиус-вектора этой точки относительно базиса, состоящего из единичных направляющих векторов данных координатных осей
В) Косоугольными координатами х, у точки М называются координаты точек Мх и Мy на осях х и у
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Все равновеликие многоугольники равносоставлены
В) Все равновеликие многогранники равносоставлены
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Все равносоставленные фигуры равновелики
В) Все равновеликие фигуры равносоставлены
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Всякий вектор допускает, и притом единственное, разложение на составляющие по пересекающимся прямой и плоскости
В) Всякий вектор допускает три способа разложения на составляющие по трем прямым, не параллельным одной плоскости
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Два вектора, сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены
В) Два вектора, равные третьему вектору, равны
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Длина кривой определяется как предел длин ломаных, вписанных в эту кривую, при условии, что длины всех звеньев ломаных стремятся к нулю
В) Определять площадь поверхности можно просто как предел площадей поверхностей многогранников, вписанных в эту поверхность и сходящихся к ней
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Длина окружности при возрастании радиуса растет
В) Длина окружности при возрастании радиуса изменяется пропорционально радиусу
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Дуга большой окружности короче дуги параллели, отличной от экватора между теми же точками на земной поверхности
В) Расстояния на сфере не превосходят длины большой полуокружности
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Если плоские фигуры В и В' равны, то V(B) = V(В')
В) Если плоская фигура В составлена из В1 и В2, то V(B) = V(В1) + V(B2)
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Каждой точке пространства однозначно отнесены три координаты х, у, z; координата х считается первой, у - второй, z - третьей
В) Если заданы любые три числа в определенном порядке х0, у0, z0, то найдется, и притом единственная, точка М с координатами х = х0, у = у0, z = z0
Подберите правильный ответ.
Верны ли утверждения?
А) Каждому сферическому многоугольнику Р Ì S можно поставить в соответствие многогранный угол V(Р), вершина которого лежит в точке О, ребра которого проходят через вершины многоугольника Р, а грани пересекают сферу S по сторонам многоугольника Р
В) Каждый многогранный угол с вершиной в точке О пересекает сферу по простой замкнутой ломаной
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Каждые две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках
В) На плоскости две прямые пересекаются в одной точке либо вовсе не пересекаются
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Координаты вектора не зависят от выбора базиса
В) При сложении векторов их одноименные координаты складываются
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Любой базис на прямой состоит из одного ненулевого вектора
В) Любой базис на плоскости состоит из трех некомпланарных векторов
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Модуль вектора - это длина отрезка АВ
В) Вектор с началом А и концом В обозначается
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) На сфере так же как на плоскости выполняются теоремы о равнобедренном треугольнике, о равенстве треугольников, о точках пересечения биссектрис и медиан
В) Любое движение сферы есть либо ее поворот вокруг двух диаметрально противоположных точек, либо композиция такого поворота с отражением относительно большой окружности, имеющей эти точки своим центром на сфере
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Нуль-вектор считается не параллельным (и не перпендикулярным) ни одной прямой и ни одной плоскости
В) Отложить от данной точки вектор, равный данному, - значит построить направленный отрезок с началом в этой точке, изображающий данный вектор
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Объем квадрата положителен
В) Объем куба равен нулю
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Окружность на сфере в смысле ее внутренней геометрии является также обычной окружностью
В) Центр окружности на сфере лежит внутри самой сферы
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) От любой точки в пространстве можно отложить вектор, равный данному, и притом только один
В) Любые два нулевые вектора равны
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Площадь отрезка равна нулю
В) Площадь квадрата положительна
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) При изгибании поверхности ее внутренняя геометрия меняется
В) Внутренняя геометрия двугранного угла - это обычная евклидова планиметрия
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) При сложении векторов их соответствующие составляющие (по прямой или плоскости) складываются
В) При умножении вектора на число их соответствующие составляющие умножаются на это число
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) При умножении вектора на число координаты вектора умножаются на то же число
В) На прямой два базиса одинаковой ориентации - это просто два сонаправленных вектора, а два базиса различной ориентации - это два противоположно направленных вектора
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Равные отрезки имеют равные длины
В) Если отрезок составлен из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Равные фигуры имеют равные площади
В) Если плоская фигура составлена из конечного числа простых плоских фигур, то ее площадь равна сумме их площадей
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Различные простые фигуры всегда имеют разные объемы
В) Если простая фигура составлена из конечного числа простых фигур, то ее объем равен сумме их объемов
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Расстояние на поверхности неотрицательно и обращается в нуль тогда и только тогда, когда точки совпадают
В) Для расстояния на поверхности имеет место неравенство треугольника
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Углом между двумя ненулевыми векторами называется величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной точки
В) Формула скалярного произведения векторов и где j — угол между векторами и
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Фигура вращения получается в результате вращения плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости
В) Шар получается вращением полукруга вокруг ограничивающего его диаметра, сфера - вращением полуокружности
Подберите правильный ответ
Верны ли утверждения?
А) Шар, цилиндр вращения, конус вращения состоят из кругов, которые имеют центры на одном отрезке прямой - оси вращения
В) Шар, цилиндр вращения, конус вращения состоят из кругов, которые лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения
Подберите правильный ответ
Уравнение _____________ F с центром в точке А(а, b, с) и радиусом r записывается так:
(х - а)2 + (у - b)2 + (z - с)2 = r 2
× = 0 тогда и только тогда, когда векторы и _________________
______ базис – базис, образованный базисными векторами попарно перпендикулярными (ортогональными) векторами единичной длины
__________ фигурой называют фигуру, которая ограничена, и граница которой не имеет внутренних точек и каждая прямая пересекает ее границу по конечному числу отдельных точек и отрезков либо вовсе не пересекает
___________ окружности на сфере – окружности на поверхности сферы, радиусы которых равны радиусу сферы
____________ - телесный угол мерой 1
____________ - угол с дуговой мерой 1
____________ проекция получается с помощью центрального проектирования сферы из полюса на плоскость, касающуюся сферы в противоположном полюсе, или параллельную ей плоскость
____________ сегмент - часть шара, отсеченная от него какой-либо плоскостью
_____________ - это геометрия на плоскости
_____________ на сфере называется фигура, составленная из дуг большой окружности
_____________ поверхностью называют фигуру, которая получается из плоской области в результате какой-либо ее деформации (взаимно однозначного, непрерывного отображения)
______________ вектор - вектор, имеющий модуль, равный нулю и не имеющий направления
______________ точки называют числа, определяющие положение точки
______________ шарового сегмента - круг, полученный в сечении шара плоскостью
______________ шарового сегмента - расстояние от плоскости основания шарового сегмента до параллельной ей опорной плоскости шарового сегмента
_______________ вектора и числа х называется такой вектор х, который, во-первых, имеет модуль |x||| и, во-вторых, сонаправлен с , если х > 0, и направлен противоположно вектору , если х < 0
_______________ векторов - это операция, обратная сложению векторов
_______________ величинами называются величины, которые характеризуются не только численным значением при выбранной единице измерения, но и направлением
_______________ называют границу тела или ее часть
_______________ плоские фигуры - плоские фигуры, площади которых равны
_______________ проекции - это проекции, в которых меридианы изображаются прямыми, проходящими через одну точку, а параллели - концентрическими окружностями с центром в этой точке
_______________ проекции - это такие проекции, в которых сеть параллелей и меридианов изображается ортогональной сетью прямых линий
_______________ проекция получается с помощью ортогонального проектирования полусферы на плоскость ее границы (обычно на плоскость меридиана или экватора)
_______________ – фигуры на сфере, две вершины которых диаметрально противоположны, а сторонами которых являются две полуокружности больших окружностей
_______________-вектором точки X с началом в точке О называется вектор
________________ координатами на плоскости называются координаты, где каждой точке М плоскости (отличной от О) сопоставляются в качестве ее координат расстояние r = |ОМ| и угол j, образованный лучом ОМ с лучом а, проведенным из точки О
________________ сегмент - это часть шарового сегмента, лежащая на сфере
_________________ данного вектора называются векторы, дающие в сумме данный вектор
_________________ поверхности - это такая деформация поверхности, при которой длины кривых на поверхности не изменяются
__________________ поверхность - это граница выпуклого тела или ее часть
_________или_____________ : + = + для любых векторов и
________или _____ : + ( + ) = ( + ) + для любых векторов , ,
«Теорема Пифагора» для прямоугольного сферического треугольника на единичной сфере S: _________________
Базисные векторы в ортонормированных базисах обозначаются обычно, ___
В ____________ проекции на карте в круге изображается одно полушарие, а меридианы и параллели изображаются дугами окружностей, кроме экватора и среднего меридиана, которые изображаются перпендикулярными диаметрами круга
В общем виде теорема о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены, доказана была в XIX в. ______и _____
В системе прямоугольных координат х, у на плоскости каждая прямая задается уравнением вида:
Вектор ______________ ненулевому вектору тогда и только тогда, когда = х
Векторное произведение векторов и обозначается так:
Векторы, параллельные некоторой плоскости, называются __________________ векторами
Величина угла на плоскости служит мерой множества лучей, исходящих из __________ угла, или, что равносильно, мерой множества соответствующих направлений
Величину 2p - α(V) называют _______________ многогранного угла V, где α(V) - сумма плоских углов выпуклого многогранного угла V
Геометр ____________ склеил из прямоугольника не обычную цилиндрическую поверхность, а поверхность край которой состоит из одной замкнутой кривой
Геометрия на поверхности называется ее _______________ геометрией
Два вектора называются ______________ (или параллельными), если изображающие их направленные отрезки параллельны или лежат на одной прямой
Две ______________ поверхности – две поверхности, между точками которых можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины
Две ______________ фигуры – две фигуры, которые можно разбить на конечное число соответственно равных друг другу частей, причем различные части каждой фигуры не перекрываются, т.е. не имеют общих внутренних точек
Для каждого вектора _______________________________, что + (-) =
Для любых векторов и векторное произведение ´= _____________
Для сонаправленных векторов и применяется обозначение:
Если = , то j =________
Если векторы и не параллельны, то их сумму можно получить, пользуясь правилом
Если векторы и коллинеарны (в частности, когда один из них нулевой), то векторное произведение векторов и равно
Если векторы и коллинеарны (в частности, когда один из них нулевой), то параллелограмм, построенный на этих векторах, ___________________
Если разрезать по средней линии «ленту Мёбиуса», то получается
Если хотя бы один из векторов , нулевой, то считается по определению, что × =
Замкнутая ломаная на сфере называется _____________, если она не имеет самопересечений
Каждая простая замкнутая ломаная на сфере разбивает ее на две области, которые называются _____________________________ многоугольниками
Касательная прямая к кривой (или, короче, касательная) определяется как предел _____________ кривой
Координаты любой точки М (х, у, z) в данной системе прямоугольных координат - это координаты ее ____________-вектора относительно соответствующего этой системе базиса
Координаты, в которых каждой точке пространства сопоставляются в качестве ее координат полярные координаты r, j ее проекции на плоскость и координата z ее проекции на прямую а, проведенной из начала координат называются
Координаты, в которых точке М пространства сопоставляются три координаты: расстояние r = |ОМ| от точки О, полярное расстояние q и долгота j той точки Q на сфере S, где ее пересекает луч ОМ, называются
Кратчайший курс идет по дугам больших окружностей, на карте изображения этих дуг называются
Любой базис в пространстве состоит из _________ некомпланарных векторов
Любой многогранник можно разбить на
Меридиан сферы - это
Мерой множества лучей, исходящих из одной точки в пространстве (или, что равносильно, мерой множества направлений), служит так называемый __________ угол
Многогранная поверхность - это граница многогранника или ее часть, состоящая из
Многогранная поверхность называется ______________ вокруг выпуклой поверхности, если ее грани лежат в опорных плоскостях данной выпуклой поверхности, и она располагается по ту же сторону от каждой такой плоскости, что и данная поверхность
Модуль вектора , равный векторному произведению векторов и вычисляется по формуле: || = ||×||×______________, где j=Ð
Модуль вектора , равный векторному произведению векторов и считается равным площади _______________, построенного на векторах и
На плоскости многоугольник с наименьшим возможным числом вершин - это
На плоскости угол можно измерить как отношение длины l дуги окружности, для которой данный угол ________________ этой окружности
На сфере кратчайшими линиями, соединяющими две точки, являются ________ больших окружностей
На сфере радиуса R периметр выпуклого сферического многоугольника ______________ (кроме двуугольника)
На сфере радиуса R периметр двуугольника равен
Направление вектора , равного векторному произведению векторов и выбирается так, чтобы он был ________________ векторам и , и тройка векторов , , была правой
Начало координат (точка О) в полярных координатах называется
Ненулевые векторы и называются _____или_____ , если лучи АВ и MN сонаправлены
Ненулевые векторы изображаются
Ненулевые векторы называются равными, если их длины равны и
О двух параллельных, но несонаправленных ненулевых векторах говорят, что они направлены
Объем V(Р) многогранника Р, описанного вокруг шара радиусом R, и площадь S(Р) его поверхности связаны соотношением: V(Р) = ___________________
Объем _________ равен произведению площади его основания и высоты
Объем конуса равен ______________________ площади основания и высоты
Объем пирамиды вычисляется по формуле: V =___________, где S - площадь основания, H - высота
Объем полушара радиусом R выражается формулой: V= _____________
Объем призмы вычисляется по формуле: V =___________, где S - площадь основания, H - высота
Объем прямого цилиндра вычисляется по формуле ______________, где V - объем, S - площадь основания, Н - высота
Объем прямого цилиндра прямо пропорционален ______________ его основания
Объем прямого цилиндра прямо пропорционален _______и _______
Объем прямого цилиндра прямо пропорционален высоте, т.е. длине его
Объем сектора, вырезаемого на сфере данным конусом лучей с вершиной в центре сферы и телесным углом w, равен V=___________
Объем цилиндра равен ______________________ площади основания и высоты
Объем шара радиусом R выражается формулой: V= _____________
Одна из цилиндрических проекций - эквиареальная проекция, была предложенна в 1772 г. немецким математиком _______________ (1728-1777), при построении этой проекции параллели изображаются на цилиндре окружностями, по которым их плоскости пересекают поверхность цилиндра
Оказывается, сумма кривизн всех многогранных углов при вершинах замкнутого выпуклого многогранника равна
Основы внутренней геометрии поверхностей были раскрыты великим немецким математиком
Плоскость, параллельная плоскости, проходящей через центр и проходящая от нее на расстоянии х < R, пересекает шар по кругу радиусом
Площадь S(x) круга, по которому плоскость, параллельная плоскости, проходящей через центр и проходящая от нее на расстоянии х < R, пересекает шар, равна
Площадь Sп боковой поверхности призмы выражается равенством: Sn = _____________, где Рn - периметр основания призмы
Площадь S области на сфере радиусом R и объем шарового сектора, основанием которого служит данная область, связаны формулой: V =______________
Площадь s(Q) двуугольника Q вычисляется по формуле: S(Q)= ____________, где - угол двуугольника (измеряется в радианах)
Площадь s(T) сферического треугольника T, лежащего на сфере S радиусом R, выражается через углы a, b, g этого треугольника по формуле: s(T)= ____________
Площадь ______________ радиусом R выражается формулой: S =
Площадь боковой поверхности Sп пирамиды выражается формулой: ______________, где Рп - периметр основания пирамиды
Площадь боковой поверхности конуса вращения с образующей L и радиусом основания R выражается формулой: S = _______
Площадь боковой поверхности усеченного конуса вращения с радиусами оснований R и r и длиной образующей L выражается формулой: S = ________
Площадь боковой поверхности цилиндра вращения с высотой Н и радиусом основания R выражается формулой: S = ____________
Площадь простого многоугольника Р на сфере радиусом R и поворот его границы связаны равенством: s(P)= _______________, где - поворот границы многоугольника Р
Площадь сферы радиусом R выражается формулой: S =___________________
Площадь фигуры, вырезаемой на сфере данным конусом лучей с вершиной в центре сферы и телесным углом w, равна S = ______
Площадью выпуклой поверхности называется ___________ площадей описанных вокруг нее многогранных поверхностей при условии, что все точки этих многогранных поверхностей становятся сколь угодно близкими к данной выпуклой поверхности
Полный телесный угол равен
Полный угол вокруг точки на плоскости равен
При подобных преобразованиях линейные размеры фигур умножаются на ___________ подобия
При подобных преобразованиях объемы тел умножаются на _________________ подобия
При подобных преобразованиях площади фигур умножаются на _____________ подобия
Применение координат и алгебраических методов к исследованию геометрических объектов и к решению геометрических задач составляет раздел геометрии, называемый _____________________ геометрией
Произведение × обозначается 2 и называется __________ квадратом вектора
Прямоугольные координаты называют
Пусть простая фигура Т лежит между параллельными опорными плоскостями α и α', а α(х) — плоскость, лежащая между ними и удаленная на расстояние х от α. Тогда если S(х) - площадь сечения Q(x) фигуры Т плоскостью α(х), то объем V(Т) фигуры Т выражается формулой: ________________ где Н - расстояние между α и α'
Равновеликие пространственные фигуры - пространственные фигуры, __________ которых равны
Радиусом окружности на сфере является
Разность (α + b + g) - p называется _______________ сферического треугольника Т и обозначается через d(T)
Расположите в порядке возрастания числа векторов в базисе
Расположите в порядке возрастания числа координат у векторов
Расположите значения углов j между векторами и в порядке возрастания ×
Расстояние между двумя точками А(х1, у1, z1) и В(х2, у2, z2) вычисляется по формуле:
Роль прямых на сфере играют
Свойствами «ленты Мёбиуса» обладают и другие более сложные поверхности. Их называют _______или _______
Свойство нуль-вектора: ____________ для любого вектора
Свойство, заключающееся в том, что для любых векторов , и (+)´=´ + ´называется
Свойство, заключающееся в том, что для любых векторов и и любого числа х: (x)´=x(´) называется ________________
Сечение конуса плоскостью, ______________ основанию, подобно основанию
Система векторов, через которые однозначно выражаются остальные векторы, называется
Скалярное произведение векторов и обозначают
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их модулей и _________________ угла между ними
Сложение векторов и умножение вектора на число составляют основу векторной _______ - раздела математики, изучающего векторы
Сумма двух векторов, непараллельных одной прямой, представляется диагональю ________________, построенного на данных векторах, отложенных от одной точки
Сумма квадратов ____________ параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон
Сумма плоских углов любого выпуклого многогранного угла
Сумма трех векторов, непараллельных одной плоскости, представляется диагональю _________________ на данных векторах, отложенных от одной точки, как на ребрах
Сумму двух векторов можно найти по правилу
Сферическим ______________ называется тот многоугольник на сфере, ограниченный замкнутой трехзвенной ломаной, углы которого меньше p
Теорема ______________ о неизгибаемости замкнутых выпуклых поверхностей при условии, что сохраняется выпуклость поверхности, нашла свои применения в теории оболочек
Точка М называется центром ______ системы материальных точек S: (А1, m1), ..., (Аk, mk), если радиус-вектор выражается равенством:
Точка О, являющаяся центром масс тетраэдра, делит все отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами масс противоположных граней в отношении
Тройка базисных векторов в пространстве называется ________, если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так, как расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки
У окружности на сфере _________ противоположных центра (-ов)
Угол j между двумя кривыми на поверхности, исходящими из одной точки можно определить по формуле: _________________, где l - длина дуги окружности, r - радиус окружности, (если этот предел существует)
Угол между двумя кривыми на поверхности, исходящими из одной точки, определяется обычно как угол между ____________ к этим кривым в этой точке (если они существуют)
Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 при условии , что А2 + В2 + С2 > 0 задает в пространстве ________________ в системе прямоугольных координат
Уравнение х = 0 задает в пространстве
Уравнения , где (m1, m2, m3) - координаты направляющего вектора прямой, называются _________________ уравнениями прямой в пространстве
Фигуры, полученные в пересечении фигуры вращения с полуплоскостью, ограниченной осью вращения, называются ____________________ фигуры вращения
Численное значение вектора называется его _________или______
Числовые коэффициенты x, y, z в равенстве = x + y + z называются ______________ вектора в данном базисе