В n-мерном пространстве каждую упорядоченную линейно независимую систему из k < n векторов можно дополнить до базиса:
Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы:
Вещественное линейное пространство называется ориентированным, если из двух классов базисов указан один:
Если вектор раскладывается по линейно зависимой системе векторов, то коэффициенты разложения определены однозначно:
Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, то система имеет только одно решение:
Каждая система из n - r линейно независимых решений является фундаментальной:
Решение системы линейных уравнений - совокупность коэффициентов, с которыми столбец свободных членов раскладывается по столбцам матрицы системы:
Система линейных уравнений всегда имеет решение:
Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда противоречивое равенство 0 = 1 является линейной комбинацией ее уравнений:
Системы, имеющие решения, называются несовместными:
Среди векторов базиса присутствует нулевой вектор:
Строки фундаментальной матрицы называются фундаментальной системой решений:
Число базисных решений системы линейных уравнений является бесконечным:
Элементарными преобразованиями строк можно привести расширенную матрицу к упрощенному виду: