В настоящее время существует универсальный метод нахождения экстремумов, применимость которого была бы оправдана и эффективна во всех случаях:
В точке экстремума может обращаться в ноль только одна частная производная:
В точке экстремума определитель, составленный из вторых частных производных, может иметь любой знак:
Для определения характера экстремальной точки необходимо вычислять третью производную:
Если функция непрерывна в некотором интервале и имеет только один экстремум и если это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наименьшим) значением функции в этом интервале (конечном или бесконечном):
Непрерывная на числовой оси функция обязательно достигает минимума и максимума:
При наличии только одной точки экстремума исследование этой точки на максимум или минимум обязательно:
При определении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке приравнивают первую производную к нулю и находят критические точки, лежащие внутри отрезка:
При переходе через точку максимума производная меняет знак с плюса на минус:
При переходе через точку минимума вторая производная может иметь один и тот же знак:
При переходе через точку экстремума вторая производная обязательно меняет знак:
С ростом числа переменных возрастают объемы вычислений и усложняются конструкции вычислительных алгоритмов:
Численное решение задач безусловной минимизации функций многих переменных, как правило, значительно сложнее, чем решение задач минимизации функций одного переменного:
Экстремальные точки могут лежать и на границе области: