В случае когда функции mi = 0, vi = 0, b = 0, граничные условия называются неоднородными граничными условиями:
В смешанной задаче для обобщенного уравнения колебаний струны уравнение описывает процесс колебаний неоднородной струны:
В третьей смешанной задаче граничные условия означают, что на струну в концевых точках x = 0, x = l действуют заданные упругие силы, направленные ортогонально оси Ox:
Величина w (x) из второго начального условия задает начальную скорость струны в точке с координатой x:
Вторая смешанная краевая задача - требуется найти функцию u = C2(D), которая удовлетворяет уравнению в области D, начальным условиям и граничным условиям первого рода:
Граничные условия второго рода означают, что на струну в концевых точках x = 0, x = l действуют заданные силы, направленные ортогонально оси Оx:
Должны быть выполнены условия второго порядка: m1`` (0) - a2y``(0) = f(0,0), m2``(0) - a2y``(l) = f(l,0):
Должны быть выполнены условия согласования:
Необходимые условия согласования в угловых точках области D, обеспечивающие принадлежностьрешения u к пространству С2(D), имеют вид: y` (0) = v1(0), y`(l) = v2(0), w`(0) = v1`(0), w`(l) = v2`(0):
Первая смешанная задача описывает процесс колебаний однородной струны длины l, натянутой вдоль отрезка 0 ^ x ^ l:
Первая смешанная задача удовлетворяет уравнению в области D, начальным условиям и граничным условиям первого рода:
Первое начальное условие задает график u = y (x) струны в начальный момент времени t = 0:
При постановке прикладных задач требуется найти не любое, а конкретное решение уравнения:
Смешанная задача для обобщенного уравнения колебаний струны - требуется найти функцию u = C2(D), которая удовлетворяет уравнению в области D, начальным условиям и граничным условиям:
Третья смешанная задача - требуется найти функцию u принадлежит C2(D), которая удовлетворяет уравнению в области D, начальным условиям и граничным условиям третьего рода: