«Законом редких событий» называют распределение
Абсолютно непрерывные случайные величины и называются независимыми, если
Биномиальное распределение с параметрами и - это распределение случайной величины , которая принимает значения с вероятностями , равными
В группе из 20 человек нужно выбрать двух человек для дежурства; вероятность того, что дежурить будут Петров и Иванов, равна
В группе из 20 человек нужно выбрать старосту и его заместителя; вероятность того, что старостой будет Петров, а его заместителем - Иванов, равна
В группе из 30 человек нужно выбрать старосту, его заместителя и казначея; число способов, которыми это можно сделать, равно
В группе из 30 человек нужно выбрать трех человек для дежурства; число способов, которыми это можно сделать, равно
В квадрат наудачу бросается точка; вероятность того, что она попадет в квадрат , равна
В квадрат АВСD независимо друг от друга наудачу бросаются три точки;вероятность того, что все они попадут в заштрихованную часть квадрата, равна
В теореме о матрице вероятностей перехода за шагов утверждается, что
В теореме о распределении вероятностей состояний для -го шага утверждается, что
В урне 10 белых и 10 черных шаров, из урны один за другим извлекают три шара, возвращая каждый шар обратно; вероятность того, что все извлеченные шары оказались белыми, равна
В урне 10 синих и 20 красных шаров, из урны наудачу вынимают три шара; вероятность того, что все три шара красные, равна
В урне 5 белых и 15 черных шаров, из урны наудачу вынимают 9 шаров; вероятность того, что среди них 3 белых, равна
В урне 5 синих и 5 красных шаров, из урны извлекают один шар, затем возвращают его обратно и после перемешивания извлекают второй шар; вероятность того, что оба шара красные, равна
В урне 5 синих и 5 красных шаров, из урны один за другим без возвращения извлекают два шара; вероятность того, что оба шара красные, равна
Вариационным рядом называются элементы выборки, расположенные в порядке
Вектор начальных вероятностей - это вектор
Верно утверждение:
Вероятность гипотезы при условии, что событие А произошло, по формуле Байеса равна
Вероятность объединения двух событий А и В равна
Вероятность пересечения двух произвольных событий А и В равна
Вероятность пересечения трех независимых событий А, В, С равна
Вероятность пересечения трех произвольных событий A, B, C равна
Вероятность попадания в интервал случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами , равна
Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,4 для второго - 0,2; стрелки выстрелили одновременно; вероятность того, что в мишени будет две пробоины, равна
Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6 для второго - 0,5; стрелки выстрелили одновременно; вероятность того, что в мишени не будет ни одной пробоины, равна
Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго - 0,4; стрелки выстрелили одновременно; вероятность того, что в мишени будет одна пробоина, равна
Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго - 0,7; стрелки выстрелили одновременно; вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина, равна
Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник равна
Вероятность события А в случае дискретного вероятностного пространства равна
Вероятность события А по формуле полной вероятности равна
Вероятность того, что , равна
Вероятность того, что равна
Вероятность того, что из трех независимых событий А, В, С не произойдет ни одно, равна
Вероятность того, что из трех независимых событий А, В, С произойдет только одно, равна
Вероятность того, что из трех независимых событий А, В, С произойдет хотя бы одно, равна
Вероятность того, что из трех независимых событий А, В, С произойдут два, равна
Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,001. Телефонная станция обслуживает 8000 абонентов. Вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов, приближенно равна
Вероятность того, что случайная величина примет значение , равна
Внутри квадрата со стороной 5 см находятся два непересекающихся квадрата со сторонами 1 см, в большой квадрат наудачу бросается точка; вероятность того, что она попадет в один из двух маленьких квадратов, равна
Выборка задана в виде статистического рядаВыборочное среднее равно
Выборка представлена в виде группированного статистического ряда:Объем выборки равен
Выборка представлена в виде статистического ряда:Объем выборки равен
Выборочная дисперсия для выборки - это число
Выборочное среднее для выборки - это число
Гистограмма - это наглядное изображение группированного статистического рядав виде столбчатой диаграммы, состоящей из прямоугольников, у которых
Граф состояний цепи Маркова имеет видМатрица вероятностей перехода равна
График плотности распределения имеет вид
График плотности распределения Стьюдента имеет вид
Дискретная случайная величина принимает значения = 0, 1, … с вероятностями . Ее математическое ожидание равно
Дискретная случайная величина принимает значения = 0, 1, … с вероятностями . Ее дисперсия равна
Дискретные случайные величины и называются независимыми, если для любых выполнено равенство
Дискретные случайные величины и называются независимыми, если для любых значений и
Дискретный случайный вектор - это случайный вектор , у которого составляющие и -
Дисперсией случайной величины называется число, равное
Дисперсия любой случайной величины
Дисперсия случайного процесса равна
Дисперсия случайной величины равна
Дисперсия случайной величины , имеющей распределение Пуассона с параметром , равна
Дисперсия случайной величины , равной общему числу успехов в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной , равна
Дисперсия случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами , равна
Для абсолютно непрерывных случайных величин величина вычисляется по формуле
Для вычисления ковариации можно применять формулу
Для любых случайных величин и имеет место неравенство
Для произвольной случайной величины разность равна
Для эргодической цепи Маркова существуют пределы, не зависящие от начального распределения
Ели выборка задана в виде группированного статистического рядаи , то выборочная дисперсия равна
Если - дискретная случайная величина, то математическое ожидание случайной величины равно
Если - неотрицательная случайная величина, то для любого > 0 имеет место неравенство
Если - произвольная случайная величина, то для любого > 0 имеет место неравенство
Если , , то равно
Если , , то равно
Если , , то равно
Если , то равно
Если , , то равно
Если , то среднеквадратическое отклонение случайной величины равно
Если , то равно
Если , то равно
Если , то равно
Если , то равно
Если , то равно
Если , то равно
Если , то
Если , то
Если - число успехов в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной , то при больших
Если - число успехов в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной , то при больших
Если - число успехов в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной , то при больших
Если - число успехов в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной , то при больших и малых
Если - частота успехов в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной , то для любого
Если , то
Если , то
Если выборка задана в виде группированного статистического рядаи , то выборочное среднее равно
Если выборка задана в виде статистического рядаи , то выборочное среднее равно
Если выборка задана в виде статистического рядаи , то выборочная дисперсия равна
Если выборка объема содержит различных элементов , причем элемент встречается раз, то частота элемента равна
Если для потока событий вероятность появления событий в любом промежутке времени зависит только от числа и от длительности промежутка времени и не зависит от начала его отсчета, то говорят, что поток событий обладает
Если для потока событий вероятность появления событий в любом промежутке времени не зависит от того, сколько событий и в какие моменты появлялись до этого промежутка, то говорят, что поток событий обладает
Если для потока событий вероятность появления более одного события за малый промежуток времени есть величина более высокого порядка малости, чем вероятность появления только одного события, то говорят, что поток событий обладает
Если известен тип зависимости переменной от переменной : , причем функция содержит неизвестные числовые параметры, и имеются результаты независимых опытов , = 1, …, , то в качестве оценок неизвестных параметров берутся такие их значения, при которых
Если имеется три группы элементов, причем в первой группе - 4 элемента, во второй группе - 5 элементов, в третьей группе - 6 элементов, и нужно составить набор из трех элементов, по одному элементу из каждой группы, то число способов, которыми это можно сделать, равно
Если при применении критерия вычисляется величина , где при нахождении в качестве числовых значений неизвестных параметров были использованы их оценки по выборке, то число степеней свободы предельного распределения
Если при применении критерия установлено, что , где ищется по таблице, то
Если случайная величина имеет плотность распределения , то равно
Если случайная величина имеет плотность распределения , то её функция распределения равна
Если случайная величина распределена равномерно на отрезке , то ее математическое ожидание равно
Если случайная величина распределена равномерно на отрезке , то ее дисперсия равна
Если случайные величины и независимы, то
Если случайные величины и независимы, то дисперсия их суммы равна
Если случайные величины и независимы, то равно
Если случайные величины попарно независимы и для всех , где - некоторая постоянная, то для любого
Задан закон распределения дискретного случайного вектора:Вероятность того, что , равна
Задан закон распределения дискретного случайного вектора:Вероятность того, что , равна
Задано распределение случайного вектора :Случайная величина имеет следующее распределение:
Задача математической статистики -
Закон распределения дискретного случайного вектора - это правило, определяющее возможные значения
Закон распределения дискретной случайной величины - это правило, определяющее
Значение равно
Значение равно
Значение равно
Значение равно
Значение равно
Значение равно
Значение равно
Значение равно
Значение равно
Значение равно
Значение равно
Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству
Игральная кость подбрасывается 3600 раз. Вероятность того, что «шестерка» выпадет 700 раз, примерно равна
Игральная кость подбрасывается шесть раз. Вероятность того, что пять раз выпадет три очка, равна
Известно, что = 0,008. Можно утверждать, что вероятность
Известно, что = 0,008. Можно утверждать, что вероятность
Испытания Бернулли - это независимые испытания, в каждом из которых
Исходы, благоприятствующие событию А, - это исходы, при которых
К. Пирсон доказал, что при распределение величины стремится к
К. Пирсон предложил в качестве меры отклонения частот, подсчитанных по выборке, от теоретических вероятностей использовать величину
Квадратные матрицы, для которых выполняются условия и , , называются
Ковариация случайных величин и - это величина
Конечномерное распределение можно задать при помощи функции распределения, которая равна
Конечномерное распределение случайного процесса - это распределение
Корреляционная функция случайного процесса - это функция двух переменных
Корреляционная функция случайного процесса равна
Корреляционная функция случайного процесса равна
Корреляционная функция стационарного случайного процесса всегда является функцией
Корреляционную функцию случайного процесса можно вычислять по формуле
Коэффициент корреляции случайных величин и - это величина
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, равное
Математическое ожидание квадрата дискретной случайной величины равно
Математическое ожидание случайного процесса равно
Математическое ожидание случайного процесса равно
Математическое ожидание случайной величины , имеющей распределение Пуассона с параметром , равно
Математическое ожидание случайной величины , равной общему числу успехов в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной , равно
Математическое ожидание случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами , равно
Математическое ожидание суммы случайных величин и равно
Матрица для цепи Маркова - это матрица , в которой элемент равен вероятности перехода из состояния
Матрица вероятностей перехода цепи Маркова - это квадратная матрица , в которой элемент равен вероятности перехода из состояния
Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид .Граф состояний имеет вид
Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид .Число состояний равно
Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид .Число состояний равно
Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид:Стационарным распределением будет решение системы
Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет видЕсли , то равно
Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет видЕсли , то равно
Может быть матрицей вероятностей перехода цепи Маркова матрица
На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью два вызова в минуту. Телефонистка отлучилась на 30 секунд. Вероятность того, что за это время не поступит ни одного вызова, приближенно равна
На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью один вызов в минуту. Вероятность того, что за две минуты поступит хотя бы один вызов, приближенно равна
На диспетчерский пункт поступает простейший поток вызовов такси с интенсивностью три вызова в минуту. Вероятность того, что за две минуты поступит четыре вызова приближенно равна
На отрезок наудачу бросается точка; вероятность того, что она попадет на отрезок , равна
На отрезок независимо друг от друга наудачу бросаются две точки; вероятность того, что обе точки попадут на отрезок , равна
На рисунке изображена функция распределения случайной величины :вероятность того, что , равна
На рисунке сплошной линией изображен график плотности стандартного нормального распределения. График плотности нормального распределения с параметрами , , изображенный пунктиром, имеет следующий вид
На станцию скорой помощи поступает простейший поток вызовов с интенсивностью один вызов в час. Вероятность того, что за два часа поступит не меньше двух вызовов, приближенно равна
Надежность интервальной оценки определяется
Не может быть матрицей вероятностей перехода цепи Маркова матрица
Нормированная корреляционная функция случайного процесса удовлетворяет неравенству
Нормированной корреляционной функцией случайного процесса называется функция
Объединение двух событий А и В - это событие, состоящее в том, что
Пересечение двух событий А и В - это событие, состоящее в том, что
Плотность распределения случайного вектора равна
Плотность распределения случайного вектора удовлетворяет неравенству
Плотность стандартного нормального распределения задается формулой
Плотностью распределения некоторой случайной величины может быть функция, изображенная на следующем рисунке
По определению условной вероятности
Правильная монета подбрасывается 10000 раз. Вероятность того, то частота выпадений герба окажется в интервале [0,49; 0,51], примерно равна
Правильная монета подбрасывается 400 раз. Вероятность того, что выпавших гербов будет от 170 до 220, примерно равна
Правильная монета подбрасывается семь раз. Вероятность того, что герб выпадет не больше трех раз, равна
Проводятся 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной . Наивероятнейшее число наступлений успехов равно
Проводятся 11 испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании, равной . Наивероятнейшее число наступлений успехов равно
Простейший (пуассоновский) поток событий - это поток событий, который обладает
Пространство элементарных исходов называется дискретным, если оно
Пусть , , . Тогда равна
Пусть , , . Тогда равно
Пусть , , . Тогда равно
Пусть , , . Семейство реализаций случайного процесса изображено на рисунке
Пусть , , . Тогда равно
Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, причем , . Положим . При больших вероятность примерно равна
Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, причем , . Положим . При больших вероятность примерно равна
Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, причем , . Положим . При больших плотность распределения случайной величины примерно равна
Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, причем , . Положим . Тогда для любого при имеет место сходимость
Пусть - независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами (0, 1). Распределение (хи-квадрат) с степенями свободы - это распределение случайной величины
Пусть - независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами (0, 1). Распределение Стьюдента с степенями свободы - это распределение случайной величины
Пусть , где случайная величина имеет следующее распределение:Тогда имеет следующее распределение
Пусть , . Тогда равно
Пусть , , . Тогда равно
Пусть , . Тогда равно
Пусть . Тогда равно
Пусть . Тогда равно
Пусть , . Тогда равно
Пусть , . Тогда равно
Пусть - функция распределения случайной величины ; плотностью распределения случайной величины называется функция, равная
Пусть , тогда равно
Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, причем , . Положим . При больших случайная величина имеет примерно нормальное распределение с параметрами
Пусть , тогда равно
Пусть N - общее число равновероятных исходов, n - число исходов, благоприятствующих событию А; вероятность события А равна
Пусть задано распределение дискретного случайного вектора , где случайная величина принимает значения , а случайная величина принимает значения . Вероятность того, что , равна
Пусть значение параметра неизвестно. Доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности , - это интервал , для которого
Пусть имеется выборка объема : . Если эта выборка содержит различных элементов , причем элемент встречается раз, то полученные результаты можно представить в виде статистического ряда, который имеет следующий вид:
Пусть исследуемая величина имеет нормальное распределение с параметрами и по выборке вычисляется выборочная дисперсия . Тогда имеет распределение с степенями свободы
Пусть исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и по выборке вычисляется выборочное среднее . Тогда имеет нормальное распределение с параметрами (0, 1)
Пусть исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и по выборке вычисляются выборочное среднее и выборочная дисперсия . Тогда имеет распределение Стьюдента с степенями свободы
Пусть исследуемая случайная величина распределена нормально. Доверительный интервал для параметра при известном имеет вид
Пусть исследуемая случайная величина распределена нормально. Доверительный интервал для параметра при неизвестном имеет вид
Пусть исследуемая случайная величина распределена нормально. Доверительный интервал для параметра при известном имеет вид
Пусть исследуемая случайная величина распределена нормально. Доверительный интервал для параметра при неизвестном имеет вид
Пусть при каждом независимые одинаково распределенные случайные величины таковы, что ; ; , где и при . Положим . Тогда при
Пусть случайная величина имеет плотность распределения ; причем при ; тогда функция распределения при равна
Пусть случайная величина имеет плотность распределения ; математическое ожидание случайной величины равно
Пусть случайная величина имеет плотность распределения ; математическое ожидание квадрата случайной величины равно
Пусть случайная величина имеет плотность распределения и ; математическое ожидание случайной величины равно
Пусть функция распределения случайной величины равнатогда плотность распределения равна
Распределение вероятностей на дискретном пространстве элементарных исходов - это
Распределение вероятностей состояний для -го шага - это вектор
Распределение Пуассона с параметром > 0 - это распределение дискретной случайной величины , для которой
Реализация случайного процесса - это
Рыбак забросил спиннинг 100 раз. Одна рыба приходится в среднем на 200 забрасываний. Вероятность того, что рыбак поймает хотя бы одну рыбу, приближенно равна
Сечение случайного процесса - это
Складываются 100 независимых случайных величин, равномерно распределенных на отрезке [0, 12]. Дисперсия суммы равна
Складываются 1000 случайных величин, равномерно распределенных на отрезке [0, 10]. Математическое ожидание суммы равно
Складываются 300 независимых случайных величин, равномерно распределенных на отрезке [0, 2]. Вероятность того, что их сумма заключена между 280 и 320, примерно равна
Складываются 300 независимых случайных величин, равномерно распределенных на отрезке [0, 2]. Плотность распределения суммы примерно равна
Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами = 0, = 4. Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна
Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами = 3, = 9. Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна
Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами = 4, = 4. Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна
Случайная величина имеет плотность распределения . Ее математическое ожидание равно
Случайная величина имеет плотность распределения . Ее дисперсия равна
Случайная величина имеет распределение:ее функция распределения имеет вид
Случайная величина имеет следующее распределение:число С равно
Случайная величина имеет следующее распределение:ее математическое ожидание равно
Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если у неё существует
Случайная величина, заданная на дискретном вероятностном пространстве - это
Случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами , - это случайная величина , плотность распределения которой равна
Случайная выборка объема - это полученные в результате независимых измерений или наблюдений, проведенных в одинаковых условиях, чисел , которые мы считаем
Случайные величины и нeзaвиcимы, , , тогда равно
Случайные величины и независимы и одинаково распределены; каждая из них принимает значения 0 и 1 с одинаковыми вероятностями. Распределение случайного вектора имеет вид
Случайные величины и независимы и имеют следующие распределения:Распределение случайного вектора имеет вид
Случайные величины и называются некоррелированными, если
Случайный вектор - это
Случайный вектор называется абсолютно непрерывным, если у него существует
Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если распределение вектора совпадает с распределением
Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если
События образуют группу гипотез, если
События образуют группу гипотез, А - некоторое событие; если то равно
События образуют группу гипотез; если то равно
События А и В называются независимыми, если
Состояние называется существенным, если
Состояние является несущественным состоянием, если
Среднее значение случайной величины при большом числе испытаний примерно равно её
Среднеквадратическим отклонением случайного процесса называется величина
Стационарное распределение марковской цепи - это такое распределение по состояниям , для которого при любых ; имеем
Сумма равна
Точность интервальной оценки определяется
Условной вероятностью события А при условии события В называется величина
Условным математическим ожиданием случайной величины при условии называется величина
Формула полной вероятности для условной вероятности имеет вид
Формула, выражающая -мерное распределение абсолютно непрерывного процесса через его -мерное распределение, имеет вид
Формула, выражающая -мерный закон распределения дискретного случайного вектора через его -мерный закон распределения, имеет вид
Формула, выражающая функцию распределения случайного вектора через его плотность распределения, имеет вид
Формулы, выражающие одномерные распределения абсолютно непрерывного случайного вектора, имеют вид
Функцией распределения некоторой случайной величины может быть функция, изображенная на следующем рисунке
Функцией распределения случайного вектора называется функция
Функцией распределения случайной величины называется функция , равная
Функция распределения стандартного нормального распределения задается формулой
Функция распределения существует
Цепь Маркова (марковская цепь) - это последовательность дискретных случайных величин , для которой при любом и любых выполняется равенство
Цепь Маркова является эргодической, если
Частная производная равна
Частная производная равна
Частная производная равна
Частная производная равна
Частная производная равна
Число равно
Число равно
Число равно
Число перестановок из пяти элементов равно
Число размещений из 6 элементов по 2 равно
Число сочетаний из 4 элементов по 1 равно
Число сочетаний из 5 элементов по 5 равно
Число способов, которыми можно осуществить выбор без возвращения два раза из трех элементов, равно
Число способов, которыми можно осуществить выбор с возвращением три раза из двух элементов, равно
Элементарные исходы - это
