В задаче минимизации необходимо проверять, является ли точка, "подозрительная" на экстремум, точкой условного локального минимума:
Дифференцируемость функции в точке предполагает, что функция определена во всем пространстве:
Достаточно определить седловую точку функции Лагранжа, чтобы прийти к решению задачи нелинейного программирования:
Если множество X содержит все свои предельные точки, то оно замкнуто:
Задача в случае непрерывной целевой функции и компактного допустимого множества имеет решение:
Задачу нахождения двойственной функции можно найти, используя теорему Куна - Таккера:
Любая точка локального максимума вогнутой функции на множестве - точка ее наибольшего значения на этом множестве:
Любая точка минимума - точка максимума той же функции со знаком минус:
Любую задачу на минимизацию можно преобразовать в задачу с выпуклой функцией:
Множители Лагранжа, существование которых вытекает из теоремы 4, определяются неоднозначно: их можно, не нарушая утверждения теоремы, умножить на любой постоянный множитель:
Неактивные ограничения в силу непрерывности фигурирующих в задаче функций выполняются в виде строгого неравенства не только в конкретной точке, но и в некоторой окрестности этой точки:
Общую задачу нелинейного программирования всегда можно свести к частному случаю:
Ограничения типа неравенства в задаче нелинейного программирования введением дополнительных переменных можно преобразовать в ограничения типа равенства:
При нахождении глобального минимума можно ограничиться локальным:
При решении задачи выпуклого программирования, в которой выпуклая функция минимизируется на выпуклом множестве, достаточно найти любую точку ее локального минимума:
Точка локального минимума должна быть внешней точкой:
Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве X, достигает на этом множестве наименьшего значения в некоторой точке: